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函数的最值是高中数学函数部分的核心概念之一。本节内容通过图象直观理解最大值与最小值的符号定义,并借助单调性掌握求最值的基本方法。同时还将系统学习二次函数在闭区间上的最值问题,以及如何运用函数思想解决实际应用中的最优化问题。
函数的最大值与最小值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:∀x∈I,都有f(x) ≤ M(或f(x) ≥ M),且存在x0∈I使得f(x0)=M,那么称M是函数y=f(x)的最大值(或最小值)。
理解这一概念时需注意:最值必须是定义域内的某个函数值,且满足对定义域内所有自变量都成立的不等式关系。
学习目标
1. 借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大值、最小值,理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义。
2. 理解最大值、最小值的作用和实际意义,会借助单调性求最值。
3. 掌握求二次函数在闭区间上的最值。
求解实际问题的四个步骤
1. 读题:分为读懂和深刻理解两个层次,把“问题情境”译为数学语言,找出问题的主要关系(目标与条件的关系)。
2. 建模:把问题中的关系转化成函数关系,建立函数解析式,把实际问题转化成函数问题。
3. 求解:选择合适的数学方法求解函数。
4. 评价:对结果进行验证或评估,对错误加以改正,最后将结果应用于现实,做出解释或预测。
特别提醒:求解实际问题的步骤也可认为分成“设元—列式—求解—作答”四个步骤。
含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a(x+h)²+k的形式,再依a的符号确定抛物线开口的方向,依对称轴x=-h得出顶点的位置,再根据x的定义区间结合大致图象确定最大值或最小值。
含参数的二次函数最值问题的几种类型
1. 区间固定,对称轴变动(含参数),求最值。
2. 对称轴固定,区间变动(含参数),求最值。
3. 区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数。
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论。
人教高中数学A版必修一《函数的最大(小)值》函数的概念与性质PPT教学课件,共40页。