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本课件系统讲解高中数学中函数的核心概念,帮助学习者用集合语言和对应关系完整刻画函数,掌握定义域、值域、对应关系三要素,学会判断同一函数,并熟练运用区间表示数集。内容清晰简明,适合课堂同步学习与复习巩固。
课标阐释
1. 能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念。(数学抽象)
2. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。(数学抽象)
3. 了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域。(数学运算)
4. 会判断两个函数是不是同一个函数。(逻辑推理)
5. 能正确使用区间表示数集。(数学抽象)
知识点一:函数的概念
一般地,设 A,B 是非空的实数集,如果对于集合 A 中的任意一个数 x,按照某种确定的对应关系 f,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
名师点析:
(1)函数有三要素:定义域、值域、对应关系。
(2)因为函数的值域可由函数的定义域和对应关系确定,所以确定一个函数只需两个要素:定义域和对应关系。
(3)理解函数的概念应关注三点:
① 函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集 A 中的任意一个(任意性)数 x,在非空数集 B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的数 y 与之对应,这三性只要有一个不满足,便不能构成函数;
② y = f(x) 仅仅是函数符号,不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积”,f(x) 也不一定就是解析式;
③ 除 f(x) 外,有时还用 g(x),u(x),F(x),G(x) 等符号来表示函数。
知识点二:区间的概念与表示
(此处保留原文中的区间概念内容,原文章未提供具体表述,故以原文结构自然收束)
知识点三:同一个函数
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数。
名师点析: 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么这两个函数就相同。例如 f(x) = x + 1,x ∈ R 与函数 f(t) = t + 1,t ∈ R 表示同一个函数。
微拓展:同一个函数的判定
两个函数当且仅当定义域与对应关系分别相同时,才是同一个函数。这说明:
(1)定义域不同,两个函数就不同。
(2)对应关系不同,两个函数也是不相同的。
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数,也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。