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平面向量基本定理是高中数学向量部分的核心内容，它揭示了同一平面内任意向量与两个不共线基底之间的唯一线性关系。本课件从定理的引入、基底的含义与选取，到实际应用中的题型解析，系统讲解了如何利用该定理进行向量的表示与运算，并提供了解决平面几何问题的方法步骤。通过本课学习，你将掌握基底的选择技巧，并能灵活运用定理处理综合问题。
学习目标
1. 了解向量的一个基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。
2. 在平面内，当一个基底选定后，会用这个基底来表示其他向量。
3. 能灵活应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题。
知识点 平面向量基本定理
（一）教材梳理填空
定理
如果 e₁，e₂ 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的 任意 向量 a，有且只有一对 实数 λ₁，λ₂，使 a = λ₁e₁ + λ₂e₂。
基底
若 e₁，e₂ 不共线，我们把 {e₁, e₂} 叫做表示这一平面内 所有 向量的一个基底。
题型一 对平面向量基本定理的理解
【学透用活】
(1) 基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底。同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的。
(2) 基底给定时，分解形式唯一。λ₁，λ₂ 是被 a，e₁，e₂ 唯一确定的数值。
(3) {e₁, e₂} 是同一平面内所有向量的一个基底，则当 a 与 e₁ 共线时，λ₂ = 0；当 a 与 e₂ 共线时，λ₁ = 0；当 a = 0 时，λ₁ = λ₂ = 0。
(4) 由于零向量与任何向量都是共线的，因此 零向量不能作为基底中的向量。
【方法技巧】
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线。此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来。
题型二 用向量解决平面几何问题的一般步骤
【方法技巧】
1. 选取不共线的两个平面向量为基底。
2. 将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题。
3. 利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解。
4. 再将向量问题的解转化为平面几何问题的解。
