证明函数单调性的方法总结

证明函数单调性的方法总结范文

函数的单调性是函数的一个重要性质，下面是小编整理的证明函数单调性的方法总结，希望对大家有帮助！

证明函数单调性的方法

1、定义法:

利用定义证明函数单调性的一般步骤是：

①任取x1、x2∈D，且x1

②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；

③依据差式的符号确定其增减性．

2、导数法:

设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．

注意：(补充)

（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，

则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；

如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．

（2）单调性的判断方法：

定义法及导数法、图象法、

复合函数的单调性(同增异减)、

用已知函数的单调性等

（补充）单调性的有关结论

1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，

则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．

2、若f(x)为增(减)函数，

则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，

则

为减(增）函数，

为增（减）函数

3、互为反函数的两个函数有相同的单调性．

4、y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，

若f(x)与g(x)的单调性相同，

则其复合函数f[g(x)]为增函数；

若f(x)、g(x)的单调性相反，

则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”

5、奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；

偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．

函数单调性的应用

(1)求某些函数的值域或最值．

(2)比较函数值或自变量值的大小．

(3)解、证不等式．

(4)求参数的取值范围或值．

(5)作函数图象．

定义法：

1、设任意x1x2∈给定区间，且x1

2、计算f(x1)- f(x2）至最简。

3、判断上述差的符号。

求导法：

利用导数公式进行求导，然后判断导函数和0的大小关系，从而判断增减性，导函数值大于0，说明是严格增函数，导函数值小于0，说明是严格减函数，前提是原函数必须是连续的。当导数大于等于0时也可为增函数，同理当导数小于等于0时也可为减函数。