《角平分线》三角形的证明PPT课件(第1课时)

北师大版八年级数学下册《角平分线》三角形的证明PPT课件(第1课时)，共19页。

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不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？

再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？

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知识点一：角平分线的性质

还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交流.

角的平分线上的点到角的两边的距离相等

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.

求证：PD＝PE.

证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E，

∴∠PDO＝∠PEO＝90°.

∵∠1＝∠2, OP＝OP

∴△PDO≌△PEO ( AAS ).

∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).

1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

2.书写格式：

如图，∵OP平分∠AOB，

PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E,

∴PD＝PE.

3.定理应用所具备的条件：

(1)角的平分线；

(2)点在该平分线上；

(3)垂直距离.

4.定理的作用：证明线段相等.

例题讲解

例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F.

求证：EB=FC.

证明： ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，

∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.

知识点二：角平分线的判定

想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.

在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．

求证：OP平分∠AOB.

证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，

∴∠ODP＝∠OEP＝90°，

∵PD＝PE，OP＝OP，

∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).

∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).

∴OP平分∠AOB.

1.判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

2.书写格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,

∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．

3.应用所具备的条件：

（1）位置关系：点在角的内部；

（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.

4.定理的作用：判断点是否在角平分线上.